Derivation of Induced Polarization Parameters from Time-Domain IP Survey Decay Curve Based on Differential Polarizability

Juyeon Jeong; Huieun Yu; Myung Jin Nam

doi:10.7582/GGE.2024.27.4.199

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Research Article

Geophysics and Geophysical Exploration. 30 November 2024. 199-210
https://doi.org/10.7582/GGE.2024.27.4.199

Derivation of Induced Polarization Parameters from Time-Domain IP Survey Decay Curve Based on Differential Polarizability

시간 영역 유도분극 탐사 감쇠 곡선에서 미분 분극률에 기초한 IP 매개변수 도출

Juyeon Jeong¹

Huieun Yu¹

Myung Jin Nam¹²^*

정 주연¹

유 희은¹

남 명진¹²^*

¹Department of Energy and Mineral Resources Engineering, Sejong University

²Department of Energy Resources and Geosystem Engineering, Sejong University

¹세종대학교 에너지자원공학과

²세종대학교 지구자원시스템공학과

^{*Corresponding Author}

License (open-access, http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

ABSTRACT

The decay curve of time-domain induced polarization (TDIP) was differentiated with respect to logarithmic time to construct the differential polarizability (DP) curve. This study utilized the resemblance between the DP curve and the phase curve of spectral induced polarization (SIP) to derived IP parameters (𝜂, 𝜏, c). The DP curve was observed to vary with the period of the transmitter in time-domain IP, and the magnitude of the IP parameters, showing increased resemblance to the SIP phase curve as the transmitter period increased. Furthermore, the IP parameters derived from the DP curve more closely aligned with the intrinsic parameters compared to those derived from the decay curve. This analysis was similarly applicable to laboratory experiment data, suggesting that TDIP measurements in the field could facilitate comparative analysis with laboratory SIP experiment results.

Keywords

Induced Polarization

Relaxation Model

Induced Polarization Parameters

Decay Curve

Phase Curve

이 논문은 시간 영역 유도분극(induced polarization; IP)의 감쇠 곡선을 로그 시간에 대해 미분하여 미분 분극률(differential polarizability; DP) 곡선을 구성하였다. 이 DP 곡선이 광대역 유도분극(spectral IP; SIP) 탐사의 위상 곡선과 유사하다는 점을 이용하여 IP 매개변수(충전율(𝜂), 시간상수(𝜏), 진동수 지수(c))를 도출하였다. 동일한 크기의 충전율 반응이더라도 매질 특성에 따라 이완 매질의 입자 분포, 종류, 입도 분포 정보를 내포하고 있기 때문에 매개 변수 도출하여 분석할 필요가 있다. 미분 분극률 곡선은 시간 영역 IP에서 송신원의 길이(주기)와 IP 매개변수의 크기에 따라 달라지며, 송신원의 길이가 길어질수록 SIP의 위상 곡선과 유사해지는 형태를 보였다. 또한, 감쇠 곡선에서 도출한 IP 매개변수보다 미분 분극률 곡선에서 도출한 IP 매개변수가 실제 매개변수와 더 유사함을 확인하였다. 이러한 분석은 실내 실험 자료에서도 유사하게 적용되었다. 이 결과는 미분 분극률 곡선을 이용한 해석이 현장에서 시간 영역 IP 탐사만 수행하더라도, 실내 SIP 실험 결과와 비교 분석할 수 있음을 제시한다.

키워드

유도분극 탐사

이완 모델

유도분극 매개변수

감쇠 곡선

위상

MAIN

서 론
이 론
IP 탐사
복소전기비저항 및 SIP 탐사: 진동수 영역 이완 모델
시간 영역 IP 탐사: 감쇠 곡선과 시간 영역 이완 모델
미분 분극률(Differential polarizability, DP)
TDIP 감쇠 곡선에서의 IP 매개변수 추정
시간 영역 감쇠 곡선에서의 유도분극 변수 예측
DP 곡선 특성
DP 곡선을 이용한 유도분극 변수 추정
실험 자료에서 DP 곡선과 유도분극 변수 추정
실험 자료에서의 유도분극 변수
토 의
결 론

서 론

유도분극(induced polarization, IP) 탐사는 감쇠 곡선을 측정하는 시간 영역(time-domain) IP (TDIP) 탐사와 진동수에 따른 복소 전기비저항의 분산 곡선으로 나타나는 광대역(spectral) IP (SIP) 탐사로 나눌 수 있다. 장비가 발달하면서 IP 탐사법은 수리 지질, 환경 분야(e.g., Weller and Borner, 1996; Binley et al., 2005; Sogade et al., 2006; Johansson et al., 2007; Leroux et al., 2010; Gazoty et al., 2012; Kemna et al., 2012; Kessouri et al., 2019), 시간 경과 모니터링(Slater and Sandberg, 2000; Slater and Lesmes, 2002) 등 과거보다 더 다양한 분야에서 활용되고 있다.

IP 현상은 외부 전기장이 매질에 가해졌을 때 입자 표면에 전하가 축적되고, 전기장이 제거된 후 초기 평형 상태로 돌아가는 전하 이완 현상에 의해 발생하는 과전압을 의미한다. 이 과정에서 전하의 축적과 소멸은 2차 전기장을 유도하며, 시간 영역에서는 전압의 감쇠가 나타나고, 진동수 영역에서는 주입된 정현파 전류와 측정된 전압 사이에 위상차가 발생한다. IP 현상의 원인은 아직 정확하게 밝혀진 바 없으나, 외부 전기장에 의해 발생하는 매질 내 이온과 전자의 전기화학적 원인으로 설명되며(Alvarez, 1973; Chelidze and Gueguen, 1999), 1 MHz이하 진동수에서 발생하는 IP 현상을 설명하는 메커니즘모델(mechanism model)은 Maxwell-Wagner 분극, 흡착층 분극, 확산층 분극, 막분극이 있다(e.g., Marshall and Madden, 1959; Buchheim and Irmer, 1979; Titov et al., 2002; Leroy et al., 2008; Revil and Cosenza, 2010; Kemna et al., 2012). IP 탐사에서 측정되는 IP 현상에서는 여러 기작이 공존할 수 있고 각 기작들은 특징적인 이완 과정(relaxation process)을 통해 나타난다(Dias, 2000).

IP 탐사 시 매질 내에서 발생하는 이완 과정은 입자의 특성을 반영한 여러 변수들(parameters)로 이루어진 이완 모델로 표현할 수 있다. 경험적 모델인 이완 모델에는, 가장 단순한 Debye 모델과 더 복잡한 스펙트럼을 설명하기 위한 모델로 유전 상수에 대해 공식화한 가장 널리 이용되고 있는 콜-콜 모델(Cole-Cole model; Cole and Cole, 1941) 등이 있는데, 콜-콜 모델은 충전율(chargeability, 𝜂), 시간상수(time constant, 𝜏), 진동수 지수(frequency exponent, c)에 기초하여 표현된다(Pelton et al., 1978). 연구 초기에는 이러한 IP 매개변수를 이론적으로 더 넓은 진동수 띠폭에서 측정 가능한 진동수 영역의 자료에서 추출 연구가 주로 수행되었으나(Kemna et al., 2012), 최근 들어 시간 영역의 IP 탐사 장비가 더 작은 시간 영역부터, 더 많은 시간 채널의 정보를 취득할 수 있게 되면서 시간 영역의 자료에서 추출하고자 하는 연구들이 수행되었다(Tarasov and Titov, 2007; Fiandaca et al., 2013; Olsson et al., 2015; Johansson et al., 2015).

진동수 영역에서의 콜-콜 모델을 역 라플라스(inverse Laplace) 변환하면, 무한한 항을 포함하는 시계열로 표현된 시간 영역 콜-콜 모델로 변환되기 때문에 IP 매개변수는 이론적으로 시간 및 진동수영역 모두에서 동일해야 한다. 그러나, 동일한 실험 샘플에서 시간 및 진동수 영역 IP 탐사 자료에서 추출된 IP 변수는 두 영역에서 측정하는 시간과 진동수 범위가 달라 직접적인 비교가 어렵다(Zonge et al., 1972). TDIP 장비의 발달로 TDIP의 감쇠 곡선에서 스펙트럼 정보를 추출할 수 있게 되면서(e.g., Tarasov and Titov, 2007; Fiandaca et al., 2013), 진동수 영역의 SIP와 TDIP 탐사 결과를 비교하거나(e.g., Orozco et al., 2012; Maurya et al., 2018; Martin et al., 2020), 실내 실험에서 SIP 자료와 현장의 TDIP 자료를 비교하려는 연구들이 진행되고 있다(e.g., Johansson et al., 2020). 그럼에도 두 영역에서 해석된 자료는 여전히 자료 품질과 기기 처리 기법의 차이로 인해 큰 차이가 나타나는 한계가 있다.

이에 로그 시간에 대한 감쇠 곡선을 시간에 따라 미분한 미분 분극률(differential polarizability, DP)이 SIP의 위상과 유사하다는 점이 제안되면서(Komarov, 1980a), 진동수 영역과 시간 영역을 동시에 비교하는 데 활용될 수 있는 요소로 평가된다. 하지만 DP는 주로 러시아에서 연구되어 왔으며, 실내 실험이나, 수치적 실험에서 아직까지 검증이 더 필요한 상태이다.

이 연구에서는 수치 모델에 대해 SIP의 위상과 TDIP의 감쇠 곡선에서 IP 변수를 도출하고, TDIP의 감쇠 곡선 자료를 DP 곡선으로 변환하여 해당 곡선에서 IP 변수를 추출하였을 때의 정확도와 차이를 평가한다. 각 곡선에서의 변수 추정은 Gauss-Newton의 비선형 회귀 방법을 적용한 오픈소스 코드 pyGIMLi (Rücker et al., 2017)를 사용하였다. 감쇠 곡선은 주입 전류의 주기(T)에 따라 감쇠 곡선의 크기와 형태에 영향을 주기 때문에 1s부터 64s까지 다양한 범위의 T에 따른 DP 곡선과 위상 곡선도 함께 비교하였다. 수치 모델뿐 아니라 탄산염암 시료에 대해 SIP의 위상 곡선과 TDIP 감쇠 곡선을 측정한 실험 결과에 대해 서로 다른 영역에서 IP 변수를 추출함으로써 DP 곡선의 타당성을 고찰한다.

이 론

IP 탐사

SIP 탐사는 진동수 10^-3–10³ Hz 범위의 교류전류 송신원 각각에 대한 매질의 복소전기비저항을 얻은 뒤, 이 복소전기비저항이 주파수에 따라 분산하는 특성을 분석한다(Kim et al., 2022). 시간 영역 유도분극(induced polarization, IP) 탐사는, 전류를 주입한 뒤 전압을 측정하는 전기비저항 탐사와 달리, 주입 전류 끊은 뒤 감소하는 전압을 측정하여 유도분극 현상을 야기하는 충전율 이상체를 찾는다. 즉, 유도분극 현상을 일으키는 매질에 전류를 주입하면, 유도분극 현상에 의한 과전압으로 인해 실제 매질의 전기비저항 분포에 의한 전압( $V_{D C}$ )보다 더 큰 전압( $V_{o}$ )이 측정된다(Fig. 1(a)). 분극전압( $V_{o} - V_{D C}$ )으로 인해 전류 주입을 중단하더라도 측정 전압이 곧바로 0이 되지 않고 이 과전압이 시간에 따라 감쇠한다( $V_{P}$ (t)).

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Fig. 1.

Schematics showing the effects of induced polarization (IP) on the voltage during the on-and off-times.

복소전기비저항 및 SIP 탐사: 진동수 영역 이완 모델

겉보기 복소 전기비저항( $ρ_{a}^{*}$ )은 다음과 같이 두 전위 전극 사이에서 측정한 전압(V^*)에 거리계수 G를 곱한 값이며,

(1)

ρ_{a}^{*} = G V^{*} = ρ_{a}^{'} + i ρ_{a}^{''}

$ρ_{a}^{ʹ}$ 와 $ρ_{a}^{ʺ}$ 는 실수와 허수이다. 이 두 값에서 복소 전기비저항의 크기( $| ρ_{a}^{*} |$ )와 위상(𝜙)은 다음과 같이 정의한다.

(2)

| ρ_{a}^{*} | = \sqrt{ρ_{a}^{ʹ 2} + ρ_{a}^{ʺ 2}}

(3)

\tan (ϕ) = \frac{ρ_{a}^{ʺ}}{ρ_{a}^{ʹ}}

복소 전기비저항의 진동수에 따른 변화인 이완(relaxation)을 설명하기 위한 콜-콜 모델을 진동수 분산 특성을 나타내는 모델로 확장하면, 낮은 진동수 영역의 참 복소 전기비저항( $ρ^{*}$ )은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(4)

ρ^{*} = ρ_{0} [1 - m (1 - \frac{1}{1 + (i ω τ)^{c}})]

여기서 $ρ_{0}$ 는 매질의 DC 전기비저항이고, m는 참 충전율(intrinsic chargeability), 𝜏은 시간상수, c는 진동수 지수, 그리고 $ω = 2 π f$ 의 각진동수이다. 식 (4)에서 c에 1을 적용하면 Debye 모델(Debye, 1929)이다.

시간 영역 IP 탐사: 감쇠 곡선과 시간 영역 이완 모델

시간영역 IP탐사에서 겉보기 충전율( $m_{a}$ )은 이 과전압 감쇠에 기초하여 다음과 같이 계산한다(Kim et al., 2018).

(5)

m_{a} = \frac{V_{o} - V_{D C}}{V_{o}} = \frac{1}{V_{o}} \int_{t_{s}}^{t_{f}} V_{P} (t) d t

$t_{s}$ 과 $t_{f}$ 는 측정 시작과 종점 시간이다. 실제 현장 탐사에서는 $V_{P} (t)$ 를 여러 시간채널에서 측정하여 식 (5)를 수치적으로 계산하여 겉보기 충전율을 얻는다(Fig. 1). 이와 같이 구한 겉보기 충전율을 역산하여 매질의 충전율 분포를 파악할 수 있다(e.g., Yuval and Oldenburg, 1997).

한편 최근에는 측정한 과전압 감쇠 곡선 자체를 분석하기 위해 시간채널에서 측정한 $V_{P} (t)$ 에서 겉보기 충전율 감쇠 곡선( $η_{a} (t)$ )을 다음과 같이 정의한다(Orozco et al., 2018).

(6)

η_{a} (t) = \frac{V_{P} (t)}{V_{o}}

위 겉보기 충전율 감쇠 곡선을 역산(e.g., Kim, 2022)하여 매질의 고유 충전율 감쇠 곡선( $η (t)$ )을 해석하고, 이 곡선으로부터 IP 변수들을 얻을 수 있다. 이를 위해 진동수 영역의 콜-콜 모델(식 (4))을 역 라플라스 변환하여 시간 영역의 콜-콜 모델로 나타낼 수 있고, 다음과 같이 표현된다(Friedrich and Braun, 1992).

(7)

η (t) = m Σ_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} {(\frac{t}{τ})}^{n c}}{Γ (1 + n c)} .

여기서 𝛤는 감마 함수이다. 위 식은 불연속적이며 수열의 개수(n)에 따라 전위값의 변화가 크게 나타나거나(Guptasarma, 1982), 이완 시간(𝜏)에 따라 발산하는 등의 문제가 발생한다. Debye 모델을 무한급수에서 발생하는 문제를 최소화하기 위해 지수함수로 표현하면 다음과 같이 나타낼 수 있다(Ghorbani et al., 2007).

(8)

η (t) = m \exp (- t / τ) .

이 때 시간(t)에 따른 충전율의 변화는 참 충전율 감쇠 곡선(intrinsic chargeability decay curve)이다.

미분 분극률(Differential polarizability, DP)

SIP의 위상 곡선을 정점의 형태가 있는 가우시안 함수 형태로 나타나기 때문에 유도분극 변수를 도출하는 데 용이하다(Titov et al., 2002). 시간 영역의 감쇠 곡선을 시간의 로그값(ln(t))에 대해 미분하면 진동수 영역의 위상 곡선과 유사한 형태로 나타나기 때문에 감쇠 곡선보다 간단하게 해석할 수 있다(Martin et al., 2021). 이 도함수를 미분 분극률(differential polarizability, DP)이라고 하며, 감쇠 곡선이 Debye 모델일 때 다음과 같이 정의한다(Komarov, 1980b; Titov et al., 2002).

(9)

η_{d} (t) = - \frac{d η (t)}{d \ln (t)} = - t \frac{d η (t)}{d t} = m \frac{t}{τ} \exp (- t / τ) .

미분 분극률( $η_{d}$ )은 $t = τ$ 일 때 최대값이며, 이 때의 $η_{d}$ 는 다음과 같고(Martin et al., 2021),

(10)

\max (η_{d}) = m / e,

e는 오일러 수(e = 2.718)이다.

진동수 영역 Debye 모델에서 복소수에 대한 위상은

(11)

ϕ = \arctan (\frac{ρ^{ʺ}}{ρ^{ʹ}}) = \arctan (- \frac{m ω τ}{1 + (1 - m) (ω τ)^{2}}) .

로, 이를 미분해서 Debye 모델에 적용하여 이완 시간과 진동수의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다(Major and Silic, 1981).

(12)

ω = \frac{1}{τ} \frac{1}{\sqrt{1 - m}} .

위상이 작을 때에 위 식을 식 (11)에 적용하면 위상의 최대값은 다음과 같다(Tarasov and Titov, 2013).

(13)

\max (- ϕ) = \frac{m}{2 \sqrt{1 - m}} .

DP 최대값의 식 (10)과 진동수 영역에서 위상의 최대값을 갖는 식 (13)은 모두 충전율(m)에 의존적이기 때문에 DP와 위상이 m에 대해 서로 선형 관계라는 점을 알 수 있다. 따라서 두 식의 관계성을 이용하여 Debye 모델의 경우 최대 $η_{d}$ 가 1%일 때, m은 0.027이고(식 (10)), 이에 상응하는 위상(𝜙)은 −13.7 mrad (식 (13))임을 알 수 있다(Fig. 2). 단, 식(10)와 식(13)의 관계는 Debye 모델에서 충전율이 작을 때에만 성립한다.

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Fig. 2.

DP versus phase for Cole-Cole model with varying c (Martin et al., 2021).

콜-콜 모델(식 (4))의 복소 전기비저항은 c가 작아질수록 위상의 감쇠가 완만해지고, DP 곡선의 너비도 넓어지기 때문에 c 곡선의 형태에 영향을 미침을 알 수 있으며, 이는 $\frac{η_{d}}{ϕ}$ 의 비율이 달라진다.

c가 0.5인 Warburg 모델(Wait, 1984)의 충전율 해석해는 다음과 같다(Komarov, 1980b).

(14)

η (t) = m \exp (- t / τ) erfc (\sqrt{t / τ})

여기서 erfc(x)는 상보 오차 함수(complementary error function)이다. Warburg 모델의 $η_{d}$ 는 다음과 같고,

(15)

η_{d} = - m \frac{t}{τ} (\exp (\frac{t}{τ}) erfc (\sqrt{\frac{t}{τ}}) - \frac{1}{\sqrt{π \frac{t}{τ}}})

이 식을 풀어보면, $t = 0.675 τ$ 일 때 $η_{d}$ 가 최대값이 된다. $η_{d}$ 가 1%일 때, m은 0.0723이고, 이 때 최대가 되는 𝜙는 −15.8 mrad인 관계가 된다(Martin et al., 2021). 즉,c가 1이 아닌 0.5일 때에는 $η_{d}$ /𝜙의 비율이 1/15.8이며, 이는 DP 곡선에 15.8를 곱했을 때 위상의 정점과 DP 곡선의 정점이 유사한 크기가 됨을 의미한다(Fig. 2).

하지만 위상과 DP 곡선의 정점을 비슷한 크기로 스케일링을 하더라도, DP 곡선과 위상 곡선이 완벽히 동일하지는 않을 수 있으며, 특히 DP 곡선은 정점을 기준으로 좌우 대칭적이지 않다는 특징이 있다.

로그 시간-DP 곡선은 비 주기함수인 시간 영역의 감쇠 곡선 중 특정 시간 구간의 반응을 진동수 영역으로 변환하기 때문에, 시간과 진동 수의 근사적 관계를 이용하여 $f = \frac{1}{2 π t}$ 을 통해 시간을 진동수 영역으로 변환하여 위상곡선의 진동수 축과 비교한다(Martin et al., 2021).

TDIP 감쇠 곡선에서의 IP 매개변수 추정

유도분극 변수 𝜂, 𝜏, c는 각각 100 mV/V, 1 s, 0.5를 종속 변인으로 하며, 𝜂, 𝜏, c의 크기를 각각 바꿔가며(Table 1) 시간에 따른 감쇠 곡선과 진동수에 따른 위상곡선을 도출한다.

시간 영역 감쇠 곡선에서의 유도분극 변수 예측

시간 영역에서의 유도분극 변수 예측은 T=4 s의 자료에서 예측하였으며, 예측한 유도분극 변수는 참 모델에 따라 정확도가 달라진다(Fig. 3). 참 모델의 𝜏와 c를 고정하고, 충전율을 바꿔 가며 예측했을 때(model 1~4), 충전율의 크기와 독립적으로 𝜂는 17.5%, 𝜏는 44%, c는 24%의 상대 오차가 나타난다. 𝜏가 작을 때에는(model 5, model 6) 변수를 예측하지 못하고 발산한다. c가 0.2로 작을 때에도 콜-콜 곡선의 정확도가 낮으며, c 뿐만 아니라 𝜂, 𝜏의 정확도도 약 50% 수준에 그친다. 하지만 c가 커질수록 더 정확한 유도분극 변수 추정이 가능했고, 이 경우의 오차는 거의 0에 수렴한다.

DP 곡선 특성

통제 변인 중 c가 0.5이기 때문에 DP와 위상의 관계 그래프(Fig. 2)을 통해 DP 곡선에 (규격(scale)을 맞추기 위해) 15.8로 곱하여 위상과 비교하였다. 독립 변인의 크기에서 T가 길수록 DP 및 위상 곡선의 크기와 정점(peak)이 유사하고, 곡선의 형태 또한 매우 비슷한 양상을 보인다(Fig. 4). 후기 측정 시간일수록 감쇠 곡선의 𝜂가 0으로 수렴하기 때문에 후기 측정 시간에 해당하는 낮은 진동수 범위에서는 위상 곡선과 잘 맞지 않아 유의미한 양상을 띠지 않는다.

충전율(𝜂)이 300 mV/V보다 작은 모델의 경우, T에 따라 변화하는 양상이 없이 비슷한 반응을 보이는 것을 확인할 수 있으며, T가 길수록(64 s) 위상과 DP 곡선의 정점이 유사하게 나타난다(Fig. 4(a)). 하지만 300 mV/V에서는 모든 측정 T에서 DP의 크기가 위상곡선 보다 비교적 작게 구해지고, 높은 진동수에서 불안정한 상태를 보인다(Fig. 4(b)). 이완 시간(𝜏)은 클수록 위상 곡선의 정점이 낮은 진동수에서 나타나는데, DP 곡선도 유사한 반응이 확인된다(Fig. 4(c), (d)). 𝜏가 작은 모델은 T=64 s 외에 DP 곡선과 위상 곡선이 모든 T에서 매우 잘 일치하였으나(Fig. 4(c)), 𝜏가 클수록 T가 짧으면 DP 곡선의 크기가 작게 구해지고, 정점도 상대적으로 높은 진동수에서 나타난다(Fig. 4(d)). 하지만 𝜏가 크더라도 64 s에서는 위상 곡선과 유사하다. 진동수 지수(c)는 작을수록 위상 정점이 작고 곡선의 폭이 크며, 커지면 위상의 크기가 크고 곡선의 폭이 굉장히 작아진다. c가 클 때 DP는 T가 64 s 뿐 아니라 4 s일 때에도 다른 변수들과 달리 위상과 유사하지만 1 s의 짧은 T에서는 오히려 더 부정확하고, 곡선의 개형을 확인하기가 어렵다(Fig. 4(f)). c가 작다면 높은 진동수의 반응에서만 일치하고, 64 s이더라도 위상의 정점과 DP의 정점이 겹치지 않는다(Fig. 4(e)).

DP 곡선을 이용한 유도분극 변수 추정

감쇠 곡선을 DP로 변환했을 때 낮은 진동수 대역, 즉 늦은 측정 시간 대역에서 DP 곡선은 위상 곡선보다 크기가 작고 폭이 좁게 나타나는 반면, 높은 진동수 대역에서는 측정 주기가 긴 모델(e.g., 64 s)에서 DP 곡선과 위상 곡선이 매우 잘 일치하기 때문에 높은 진동수 영역의 DP 곡선을 이용하여 진동수 영역 이완 모델을 통해 유도분극 변수를 추정하였다.

충전율 다른 모델 중 충전율이 매우 작은 모델(Model 1)은 추정된 콜-콜 곡선이 DP 곡선과 차이가 크고(Fig. 5(a)), 충전율이 매우 큰 Model 4의 콜-콜 곡선은 DP 곡선과 유사하지만 추정된 𝜂가 실제보다 매우 작다(Fig. 5(b)). 하지만 다른 모델(Model 2, 3)에서는 DP 곡선과 콜-콜 곡선이 유사한 형태를 보인다.

𝜏를 달리한 모델에서 𝜏가 작을 때에 추정된 SIP 변수는 상대 오차가 10%내외로 추정되었지만(Fig. 5(c)), 𝜏=5 s인 Model 8은 𝜏는 30%, 𝜂는 16% 작게 예측되어 적절하지 않다(Fig. 5(d)). c가 서로 다른 모델에서는 실제 c가 크더라도 오차율 10%로 예측이 잘 되었으며, 𝜏는 동일하였으며 𝜂는 실제보다 8% 작게 예측되었다.

Table 1.

Validation model variables.

Model	Variable	$ρ_{0}$ [ohm-m]	𝜂 [mV/V]	𝜏 [s]	c [-]
1	𝜂	100	10	1	0.5
2		100	502	1	0.5
3		100	100	1	0.5
4		100	300	1	0.5
5	𝜏	100	100	0.01	0.5
6		100	100	0.1	0.5
7		100	100	1	0.5
8		100	100	5	0.5
9	c	100	100	1	0.2
10		100	100	1	0.5
11		100	100	1	0.8
12		100	100	1	1

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Fig. 3.

TD-SIP parameters fitting of the decay curve for each variable models, the results are presented at a time period (T) of 4 second: the control variable of intrinsic SIP parameters are 𝜂=100 mV/V, 𝜏=1 s, and c=0.5 and independent variable is (a) chargeability (from left to right: 10, 50, 100, 300 mV/V) as model 1 to 4 from Table 1, (b) time constant (from left to right: 0.01, 0.1, 1, 5 s) as model 5 to 8, and (c) frequency (from left to right: 0.2, 0.5, 0.8, 1) as model 9 to 12 from Table 1.

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Fig. 4.

Phase curve of SIP (black dashed line) and decay curve of TDIP when injecting current during 1 s (red), 4 s (blue), and 64 s (green); representing the result from Model (a) 3, (b) 4, (c) 5, (d) 8, (e) 9, and (f) 12 of Table 1.

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Fig. 5.

Estimated Cole-Cole parameter from DP curve and its SIP phase curve comparing to DP curve of Model (a) 1, (b) 4, (c) 7, (d) 8, (e) 10, and (f) 12 of Table 1.

실험 자료에서 DP 곡선과 유도분극 변수 추정

SIP 자료는 SIP Fuchs III을 사용하여 10^-3–10⁴ Hz 사이의 진동수 범위에서 측정했으며 TDIP 자료는 AIE-2 장비를 사용하여 10^-3 s–32 s까지 측정하였다. 암석 시료는 각기 다른 지역에서 얻은 특성이 다른 2가지 종류의 탄산염암(carbonatite)을 사용하였다(Gurin et al., 2022). 시료 1은 입자의 크기가 크고, 시료 2는 입자가 작은 것이 특징이다. 시료는 측정 전 진공 상태에서 0.04 S/m 전기전도도의 NaCl 수용액으로 포화되었으며, 4극 샘플 홀더(sample holder)에 시료를 고정시킨 후 장비에 연결하여 측정을 수행하였다. TDIP 실험은 입력 전류의 T를 8 s와 32 s로 주입하여 각 T에 따른 반응을 분석하였다.

실험 자료에서의 유도분극 변수

시료 1의 SIP 측정 결과에서 복원된 유도분극 변수는 𝜂가 474 mV/V로 크고, 𝜏는 0.00032 s의 매우 작은 값을 보이지만(Fig. 6(a)), 감쇠 곡선 중 10^-3~10^-1s까지의 자료(초기 시간)만 이용했을 때에는 𝜂가 239 mV/V, 𝜏는 0.004 s로 추정되어, SIP의 IP 변수와 매우 다르다(Fig. 6(b)). 감쇠 곡선 자료를 DP 곡선으로 변환했을 때 시료 1의 DP 곡선은 전류의 T의 길이와 상관없이 유사하지만 위상 곡선과는 형태가 유사하지 않은 것으로 보인다(Fig. 6(c)). 여기서 DP곡선에서 해석된 유도분극 변수는 위상곡선에서 추정한 변수의 상대오차는 최대 13%이다(Fig. 6(d)).

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Fig. 6.

Fitting IP parameter for the carbonatite sample #1 from (a) SIP and (b) TDIP when current period is 32 second, and (c) comparing phase curve from SIP to DP curve and (d) IP parameter fitting using DP curve.

시료 2에서 추정된 SIP 유도분극 변수는 𝜂가 114 mV/V, 𝜏는 0.25 s, c는 0.38이다(Fig. 7(a)). 10^-2.5–10¹s 범위의 감쇠 곡선에서 추정된 IP 변수는 𝜂=90 mV/V, 𝜏=0.25 s, c=0.48로 SIP에서 추정된 변수 중 𝜏는 동일하고, 𝜂와 c는 각각 21%, 26%로 차이가 있다(Fig. 7(b)). DP 곡선은 8 s일 때 위상과 동일하지 않지만, 32 s일 때의 곡선의 형태는 위상 곡선과 매우 유사하며, 32 s에서 추출된 IP 변수는 125 mV/V, 𝜏=0.27 s, c=0.36으로 각각 8.8, 7.47, 5.56%의 오차로 감쇠 곡선에서 추정한 IP 변수와 매우 유사하다.

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Fig. 7.

Fitting IP parameter for the carbonatite sample #2 from (a) SIP and (b) TDIP when current period is 32 second, and (c) comparing phase curve from SIP to DP curve (d) IP parameter fitting using DP curve.

토 의

DP 곡선은 높은 진동수 대역에서는 T의 크기와 상관없이 위상 곡선과 부합하지만 늦은 측정 시간 대역 즉, 낮은 진동수 대역에서 DP 곡선의 정점은 입력 T가 짧을수록 작아지며, 위상과의 정확도뿐 아니라 서로 다른 길이의 T 사이에서도 다른 형태의 곡선이 나타난다. 측정 T가 짧을수록 측정 시간이 짧고, 위상의 정점이 나타나는 진동수 범위에 해당하지 않기 때문에 DP의 정점이 위상의 정점과 차이가 큰 것으로 해석된다. 또한 이완시간의 영향을 받아 후기 시간에 감쇠 곡선이 0으로 수렴하기 때문에 낮은 진동수 범위에서는 위상 곡선과 잘 맞지 않지만 T가 64 s일 때는 이완 시간의 길이만큼 감쇠를 인지할 수 있기 때문에 위상 곡선의 비슷한 양상을 띤다.

TDIP의 감쇠 곡선은 IP 변수는 c=1일 때를 제외한 대부분의 경우에 상대 오차가 굉장히 크며, 𝜏의 크기에 따라서는 추정이 되지 않는 경우도 있다. DP 곡선을 진동수 영역의 콜-콜 모델에 대해 추정된 IP 변수는 𝜂이 300 mV/V로 매우 큰 경우(model 4)를 제외하고는 추정된 IP 변수가 실제 모델 IP 변수와 유사하게 값으로 추정되었다. 따라서 감쇠 곡선에서 IP 변수를 추정하는 것 보다 DP 곡선에서 추정하는 것이 더 정확한 변수를 추정이 가능하며, Model 5나 Model 6처럼 IP 변수 크기에 따라 발산하여 계산되지 않는 경우에도 IP 변수 추정이 가능하다.

대부분 𝜂는 실제보다 조금씩 작게 예측되었는데, DP 곡선에서 위상곡선의 정점의 크기를 동일하지 않기 때문이다. DP 정점과 위상 정점의 관계 그래프는 콜-콜 모델에서 c의 크기에 따라 서로 다른 상관 관계를 가지는데도 불구하고, 통제 변인인 c가 0.5이기 때문에 동일하게 15.8로 스케일링 했기 때문이다. DP 곡선을 SIP의 위상처럼 해석하려면 스케일링 한 후 분석이 필요하며, 이를 위해서는 c를 알아야한다. 그렇지 않을 경우에는 충전율을 정확하게 추정할 수 없다. 스케일링에 있어 또다른 문제점은 주입 전류인 T의 크기에 따라서 DP 정점이 나타나는 진동수가 다르다는 점이며, 이 경우 2개 이상의 T에 대해 탐사 및 실험이 요구된다.

이 연구에서는 T가 64 s인 굉장히 긴 시간 자료에서 DP 곡선으로부터 IP 변수를 구했지만 실제 현장에서는 주로 4~6 s의 T를 이용한다. 높은 진동수의 자료만 이용하더라도 위상 곡선과 비슷할 수 있지만, 이는 SIP 와 동일한 진동수 범위가 한정적임을 의미한다. 더 나아가 수치 실험에서 DP곡선과 위상 곡선이 동일해지는 진동수 범위는 약 10¹–10³ Hz에 해당하고, 실내 실험에서는 10^-2–10¹ Hz에 해당한다. 하지만 이 범위는 시간 영역에서 0.00016–0.016 s와 0.16–16 s에 해당하는데, 현재 TDIP 장비 중 가장 널리 사용되는 IRIS사의 SyscalPro의 경우, T가 1 s일 때, 0.01 s부터 0.92 s까지 측정하거나, 4 s의 T에서는 1.28~7.36 s까지 측정하기 때문에 진동수가 높거나 낮은 영역에 대해서만 측정할 수 있어 위상 곡선과 비교할 수 있는 진동수 범위에 제한이 있다.

T의 시간이 길더라도 매우 작은 시간 범위부터 측정이 가능해져 넓은 띠폭의 자료를 취득할 수 있다면 DP 곡선에서 IP 변수를 추출하는 데에 있어 시간이 오래 걸리는 SIP 탐사보다 더 효율적인 탐사가 가능하다. c에 대한 사전 정보가 없어 곡선 사이의 스케일링이 정확하지 않더라도, 위상곡선과 DP 곡선의 형태가 유사하면 DP 곡선으로부터 𝜏와 c의 정확도는 위상 곡선과 비교했을 때 매우 정확하다는 장점이 있다.

결 론

이 연구에서 IP 매개변수(𝜂, 𝜏, c)가 서로 다른 모델에 대해 측정 주기(T)를 다양하게 주입하여 감쇠 곡선을 계산하여 IP 변수를 추정한 후, TDIP 감쇠 곡선을 DP 곡선으로 변환하여 진동수 영역의 콜-콜 모델에서 IP 변수를 추정하여 비교 분석하였다. 감쇠 곡선에서 IP 변수를 추정하면 T의 길이에 따른 추정 가능한 매개변수의 범위가 달라지고, 𝜏와 c가 작아지면 추정이 어려운 매운 불안정한 결과를 보인다. 이에 비해 DP를 계산하여 IP 매개변수를 추정하면 긴 측정 시간을 갖는 감쇠 곡선에 대해 𝜏와 c 작은 경우에도 SIP의 위상과 거의 유사한 IP 변수가 추정된다. 위상 곡선에서 추정한 IP 변수가 매우 정확하고, DP 곡선이 위상 곡선과 유사하다고 가정하면, 감쇠 곡선에서 추정된 IP 변수보다 DP 곡선에서 변수를 신뢰할 수 있으며, 앞으로 현장에서 TDIP 측정을 통해 시간 및 비용 효율적인 SIP 매개변수 추정에 도움이 될 것으로 보인다. 추 후에는 이완 모델이 2개 이상인 double 콜-콜 모델같은 경우에 IP 변수 추출을 위해 감쇠 곡선과 위상 곡선의 정량적 평가를 위한 이완시간 분포(relaxation time distribution, RTD)에 대해 연구하고, 이완 시간의 사전 정보를 통해 더 정확한 IP 변수를 추출하고자 한다.

Acknowledgements

본 결과물은 환경부의 재원으로 한국환경산업기술원의 지중환경 오염위해관리기술개발사업(RS-2023-00230833)의 지원과 2022년도 세종대학교 교내연구비 지원을 받아 연구되었습니다.

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Geophysics and Geophysical Exploration ISSN:1229-1064(Print) 2384-051X(Online) 지구물리와 물리탐사

Preview

Derivation of Induced Polarization Parameters from Time-Domain IP Survey Decay Curve Based on Differential Polarizability

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1.

Schematics showing the effects of induced polarization (IP) on the voltage during the on-and off-times.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Fig. 2.

DP versus phase for Cole-Cole model with varying c (Martin et al., 2021).

(14)

(15)

Table 1.

Validation model variables.

Fig. 3.

Fig. 4.

Phase curve of SIP (black dashed line) and decay curve of TDIP when injecting current during 1 s (red), 4 s (blue), and 64 s (green); representing the result from Model (a) 3, (b) 4, (c) 5, (d) 8, (e) 9, and (f) 12 of Table 1.

Fig. 5.

Estimated Cole-Cole parameter from DP curve and its SIP phase curve comparing to DP curve of Model (a) 1, (b) 4, (c) 7, (d) 8, (e) 10, and (f) 12 of Table 1.

Fig. 6.

Fitting IP parameter for the carbonatite sample #1 from (a) SIP and (b) TDIP when current period is 32 second, and (c) comparing phase curve from SIP to DP curve and (d) IP parameter fitting using DP curve.

Fig. 7.

Fitting IP parameter for the carbonatite sample #2 from (a) SIP and (b) TDIP when current period is 32 second, and (c) comparing phase curve from SIP to DP curve (d) IP parameter fitting using DP curve.

Acknowledgements

References